Question

证明不等式

Answer 1

设f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx,x>0,则
f'(x)=ln(1+x)+1-1/(1+x^2)
=ln(1+x)+x^2/(1+x^2)>0,
∴f(x)是增函数，
∴f(x)>f(0)=0,
即(1+x)ln(1+x)-arctanx,x>0，
∴ln(1+x)>arctanx/(1+x).

追问

你是怎么想到要把(1＋x)乘过来的啊？

Answer 2

f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctan(x)
求导f'(x)=ln(1+x)+1-1/(1+x²)=ln(1+x)+x²/(1+x²)大于0
所以f(x)>f(0)=0
因此 (1+x)ln(1+x)-arctan(x)>0
注意 1+x>0
有ln(1+x)>arctan(x)/(1+x)

追问

你是怎么想到要把(1＋x)乘过来的啊？

追答

求导数方便而已。

追问

我怎么就想不到，我直接就左右向减，就求不出来了

你看到就下意识乘过去的吗

追答

对

Answer 3

相减，左-右，转换成函数，求导。