Question

已知抛物线C,y^2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线L与C相交与A,B两点，点A关于X轴的对称点为D.

,证明：点F在直线BD上。
2，设向量FA×向量FB=8/9,求三角形BDK的内切圆MC的方程.

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),l的方程为x=my-1(m≠0).

⑴、证明:将L：x=my-1带入y²=4x并整理得y²-4my+4=0,从而y1+y2=4m，y1y2=4.

直线BD的斜率为k=(y2+y1)/(x2-x1)=(y2+y1)/[(my2-1)-(my1-1)]=4m/[m(y2-y1)]=4/(y2-y1)
∴直线BD的方程为y-y2=[4/(y2-y1)]×(x-x2)=[4/(y2-y1)]×(x-y2²/4)

令y=0,解得x=y1y2/4=1,所以点F(1,0)在直线BD上。

⑵由⑴知：

x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=m(y1+y2)-2=4m²-2，x1x2=1
.∵向量FA=(x1-1,y1)，向量FB=(x2-1,y2),

二者的积=(x1-1)(x2-1)+y1y2=8-4m²=8/9，m=±4/3,

所以l的方程为3x+4y+3=0,3x-4y+3=0,

又有⑴知y2-y1=±√(y1-y2)²=±√[(y1+y2)²-4y1y2]=±√(16m²-16)=±4√7/3
故BD斜率=4/(y2-y1)=±3/√7,

因而BD方程为3x+√7y-3=0,3x-√7y-3=0.
∵KF为∠BKD的平分线(关于x轴对称)
故可设圆心M(t,0)(-1＜t＜1) (圆心就在角平分线上)
m到L及BD的距离分别为(3/5)|t+1|，(3/4)|t-1|
∴(3/5)|t+1|=(3/4)|t-1|
t=1/9，t=9(舍)
∴圆M的半径r=(3/5)|t+1|=2/3.
∴圆的方程为(x-1/9)²+y²=4/9