Question

已知函数f(x)=x2+a|lnx-1|(a>0)当x≥1时 求f（x）的最小值

请给出详细过程 好的额外追加

Answer 1

当x>=e时，f(x)=x^2+a(lnx-1), 因为x^2, alnx都是增函数，因此此时最小值为f(e)=e^2
当1=<x<=e时，f(x)=x^2+a(1-lnx)， f'(x)=2x-a/x=1/x*(2x^2-a)=0, 得极值点：x1=√(a/2)
若极值点x1>e,即a>2e^2, 则f(x)在此区间单调减，最小值为f(e)=e^2
若极值点1=<x1<e, 即2=<a<2e^2, 则最小值为f(x1)=a/2+a[1-0.5lna/2)]<f(e)=e^2
若极值点x1<1,即a<2, 则f(x)在此区间单调增，最小值为f(1)=1+a<e^2
综合得：
若a>2e^2, 则最小值为f(e)=e^2
若2=<a<2e^2, 则最小值为f(x1)=a/2+a[1-0.5lna/2)]
若0<a<2, 则最小值为f(1)=1+a

追问

这道题我的疑惑之处在 需不需要3者比较大小后 写总结论（因为e^2必大于1+a（0<a<2）
）

追答

因为这里没有指明a的大小，因此要分别讨论不同a值时的最值。
显然e^2不一定大于1+a的。

追问

若0<a<2, 则最小值为f(1)=1+a 这个最大趋近与3 显然小于e平方啊

追答

对呀，所以在a<2时的最小值为1+a呀

Answer 2

当x>=e时；lnx>=1;f(x)=x^2+alnx-a是增函数；f(x)>=f(e)=e^2;
当1<=x<=e时；lnx<=1,所以f(x)=x^2-alnx+a;求导得：[f(x)]~=2x-a/x=2(x^2-a/2)/x
由[f(x)]~=0得x=[√(2a)]/2; (x=-[√(2a)]/2要舍去）
所以（1）当a>=2e^2时，在[,e]上，[f(x)]~<=0;即f(x)是减函数；所以x=e时，
f(x)有最小值f(e)=e^2；
（2）当0<a<=2时，在[1,e]上，[f(x)]~>=0;即f(x)是增函数；
f(x)有最小值f(1)=1+a；
（3）当2<a<2e^2时，在[1,[√(2a)]/2]上，[f(x)]~<=0;即f(x)是减函数；
在[√(2a)]/2，e]上，[f(x)]~>=0;即f(x)是增函数；
所以x=[√(2a)]/2时，f(x)取到最小值=a/2-(a/2)ln(a/2)+a=(a/2)[3-ln(a/2)]