Question

已知a、b是实数，且【根号（1+a平）+a】*【根号（1+b平方）+b】=1，问a、b之间有

Answer 1

解：√(1+a^2)+a=1/[√(1+b^2)+b]=[√(1+b^2)-b]/{[√(1+b^2)+b]*[√(1+b^2)-b]}=√(1+b^2)-b
于是a+b=√(1+b^2)-√(1+a^2)
两边平方得
a^2+2ab+b^2=1+b^2+1+a^1-2√[(1+b^2)(1+a^2)]
√[(1+b^2)(1+a^2)]=1-ab≥1
于是得到第一个结论：ab≤0
两边平方得
1+a^2+b^2+a^2b^2=1-2ab+a^2b^2
a^2+b^2+2ab=0
(a+b)^2=0
a+b=0
显然a+b=0已隐含ab≤0。故a、b之间有a+b=0的关系存在。

Answer 2

题可考虑几何法。不失一般性，作△ABD,AB=|a|=2,AD=|b|=√3,<DAB=45°。考虑到向量a减向量c与向量b减向量c的夹角为135°，与<DAB互补，故若将向量c的始端平移到点A上，则终端C必与A、B、D四点共圆。只需求出△ABD所在外接圆的直径，则当向量c=AC恰好过圆心时，向量c的模有最大值，且最大值即为该圆直径。
取AD中点M及AB中点N，分别作AD和AB的垂直平分线，交于O点。过点O作△ABD