Question

一个有极限函数跟一个无极限函数的乘积是否一定无极限

Answer 1

一个有极限函数跟一个无极限函数的乘积有可能是有极限的。

实例1：f1(x) = 1/x^2, f2(x) = x; f(x)=f1(x)*f2(x)=1/x,

在x趋于无穷时， f1(x) 极限为0，f2(x)无极限（也称之为极限为无穷），而f（x）极限为0.

分析：这一类实例中，f1为去穷小；f2无极限，是无穷型的，所以其倒数为无穷小；只要f1比f2的倒数更高阶，这个乘积就一定是无穷小。

实例2：f1(x) = 1/x^2, f2(x) = sin(x); f(x)=f1(x)*f2(x)=sin(x)/x^2,

在x趋于无穷时， f1(x) 极限为0（即：f1(x)为无穷小），f2(x)无极限（震荡型，但是有界,|f2(x)|<=1），而根据定理“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”可知f（x）也为无穷小，因此极限为0.

分析：这一类实例中，f1为去穷小；f2无极限，是有界的，无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，因此乘积也为无穷小。