在三角形ABC中 ∠A=90度 AB=AC D为BC中点 EF分别为AB,AC上的点 150
解:连接AD.由AB=AC,∠BAC=90°可知:AD=BC/2=BD;∠ADB=90°;∠DAF=45°=∠B.
又AF=BE,则:⊿ADF≌⊿BDE(SAS).
∴S⊿ADF=S⊿BDE,S四边形AEDF=S⊿BDA=(1/2)S⊿ABC;DF=DE;∠ADF=∠BDE.
∴∠EDF=∠BDA=90° ,即⊿DEF为等腰直角三角形.
则SAEF=S四边形AEDF-S⊿DEF=(1/2)S⊿ABC-(5/18)S⊿ABC=(2/9)S⊿ABC.
设AB=AC=m,AF=BE=X,则:AE*AF/2=(2/9)*AB*AC/2.
即(m-x)*x/2=(2/9)*m*m/2, x=(2/3)m或(1/3)m.
所以,E和F的位置是:BE=(2/3)BA,AF=(2/3)AC或BE=(1/3)BA,AF=(1/3)AC.
思路：
用三角形AEF的面积解题
过程：
连接AD。
用“SAS”边角边，很容易证明三角形ADF和三角形BDE是全等的
所以这两个三角形面积也是一样的。即S△ADF=S△BDE
S四AEDF=S△ADF+S△ADE=S△BDE+S△ADE=1/2 S△ABC
S△AEF+S△DEF=S四AEDF=1/2 S△ABC
S△AEF=1/2S△ABC —S△DEF=1/2 S△ABC —5/18 S△ABC=2/9 S△ABC
1/2 AE*AF=S△AEF=2/9 S△ABC=2/9 *1/2 *AB*AC
设AF=1/nAC
BE=1/nAB, AE=（n-1）/nAB
1/2 AE*AF=2/9 *1/2 *AB*AC
1/2 （n-1）/nAB*1/nAC =2/9 *1/2 *AB*AC
（n-1）/n*n=2/9 解之得：n=3或者n=3/2
即：E、F为AB、AC的三等份点。
过点D分别作AB、AC垂线DG、DH，易知DG=DH.
我们可以设BE=AF=a, AE=CF=b, 则DG=DH=h=（a+b）/2,
则三角形BDE面积=a×h/2, 三角形CDF面积=b×h/2, 三角形AFE面积=a×b/2,
∵三角形DEF面积=5/18 三角形ABC面积
∴三角形BDE面积+三角形CDF面积+三角形AFE面积=13/18 三角形ABC面积
即a×h/2+b×h/2+a×b/2=13/18×（a+b）^2÷2，
将h=（a+b）/2代入上式化简得,
2a^2-5ab+2b^2=0
即（2a-b）(a-2b)=0,∴a=b/2或a=2b.
即此时E、F位置为AE=2/3AB，AF=1/3AC 或AE=1/3AB，AF=2/3AC
∵角A=90°,AB=AC,D为BC的中点
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=∠B=45°
∴AD=BD，
∵BE=AF
∴△DBE≌⊿DAF
∴ED=DF,∠ADF=∠BDE,
∴∠EDF=∠ADB=90º
∴三角形DEF是等腰直角三角形
∵△DBE≌⊿DAF∴DE/AC=√(5/18)=√10/6（下略）
因为角A=90度，AB=AC，D是BC中点，所以正方形AGDH
三角形DEF/三角形ABC=5/8
设AB=AC=6（你可以设为6a，等下可以消去）
DH=3=DG,设BE=AF=X
S三角形BED=3X/2
S三角形EAF=X(6-X)/2
S三角形DFC=3(6-X)/2
所以S三角形EFD=(X平方-6X+18)/2=5
所以X=2或4
5/18不是5/8
就那一个地方打错了，答案还是按18算的
