在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧面SD垂直底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点设SD=2DC，求二面角A-EF-D
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解：取SD中点G，连接FG和AG，则FG//DC，且FG=1/2CD.
∵AB//CD且AE=1/2AB
∴FG//AE且FG=AE.
∴四边形AEFG为平行四边形.
∴点G在平面AEF上.过D作DH使DH⊥AG于H.
∵SD⊥面ABCD.
∴SD⊥AB
又AB⊥AD
∴AB⊥面ADS
∴ AB⊥DH,AB⊥AG.
则DH⊥面AEFG.且平行四边形AEFG为矩形.
过H作HO⊥EF,连接DO，
则∠HOD即为二面角A-EF-D所对应的平面角.
tan∠HOD=DH/OH.
∵HO⊥EF
∴HO=AE.
设CD=a,则SD=2a，AB=AD=CD=a,
∴ DG=1/2SD=a.HO=AE=1/2AB=1/2a.
在RT∆ADG中，可得HD=√2/2a
∴tan∠HOD=DH/OH=√2.
即二面角A-EF-D的正切值为√2.
∵AB//CD且AE=1/2AB
∴FG//AE且FG=AE.
∴四边形AEFG为平行四边形.
∴点G在平面AEF上.过D作DH使DH⊥AG于H.
∵SD⊥面ABCD.
∴SD⊥AB
又AB⊥AD
∴AB⊥面ADS
∴ AB⊥DH,AB⊥AG.
则DH⊥面AEFG.且平行四边形AEFG为矩形.
过H作HO⊥EF,连接DO，
则∠HOD即为二面角A-EF-D所对应的平面角.
tan∠HOD=DH/OH.
∵HO⊥EF
∴HO=AE.
设CD=a,则SD=2a，AB=AD=CD=a,
∴ DG=1/2SD=a.HO=AE=1/2AB=1/2a.
在RT∆ADG中，可得HD=√2/2a
∴tan∠HOD=DH/OH=√2.
即二面角A-EF-D的正切值为√2.
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