Question

如图15，在三角形ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC与点D，交AC与点E，过点D作DF垂直AC,垂足为点F。

（1）求证：DF为圆O的切线：（2）若过点A且与BC平行交BE的延长线与G，连接CG,当三角形ABC是等腰三角形时，求角AGC的度数。

Answer 1

1证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
又AB=AC=13，BC=10，D是BC的中点，
∴BD=5．
连接OD；
由中位线定理，知DO∥AC，
又DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线．
2）∵AB是⊙O的直径，
∴BG⊥AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴BG是AC的垂直平分线，
∴GA=GC．
又∵AG∥BC，∠ACB=60°，
∴∠CAG=∠ACB=60°．
∴△ACG是等边三角形．
∴∠AGC=60°

Answer 2

.证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又AB=AC=13，BC=10，D是BC的中点，
∴BD=5．
连接OD；
由中位线定理，知DO∥AC，
又DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线．
.AB是⊙O的直径，
∴BG⊥AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴BG是AC的垂直平分线，
∴GA=GC．
又∵AG∥BC，∠ACB=60°，
∴∠CAG=∠ACB=60°．
∴△ACG是等边三角形．
∴∠AGC=60°