Question

高三数学 已知f(x)是在定义域上的奇函数且f(1)=1,若任意a、b∈[-1,1],当a+b≠0时，总有

已知f(x)是在定义域上的奇函数且f(1)=1,若任意a、b∈[-1,1],当a+b≠0时，总有[f(a)+f(b)]/(a+b)＞0
(1)判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论
(2)解不等式f(x+1）＜飞[1/（x-10）]
(3)若f(x)≤m²-2pm+1对所有的x∈[-1,1]（p是常数），求实数m的取值范围

Answer 1

解：（1）f（x）在[-1，1]上是增函数，
证明如下：任取x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，则x1-x2＜0，
于是有 f(x1)-f(x2)x1-x2=f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)＞0，
而x1-x2＜0，故f（x1）＜f（x2），故f（x）在[-1，1]上是增函数；（4分）
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：
{-1≤x+1≤1-1≤1x-1≤1x+1＜1x-1⇒{-2≤x≤0x≥2，或x≤0x＜-2，或1＜x＜2⇒-2≤x＜-2，
故不等式的解集为 {x|-2≤x＜-2}；（8分）
（3）由（1）知f（x）最大值为f（1）=1，
所以要使f（x）≤m2-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m2-2pm+1成立，即m（m-2p）≥0．
①当p∈[-1，0）时，m的取值范围为（-∞，2p]∪[0，+∞）；
②当p∈（0，1]时，m的取值范围为（-∞，0]∪[2p，+∞）；
③当p=0时，m的取值范围为R．（12分）

Answer 2

解：（1）f（x）在[-1，1]上是增函数，
证明如下：任取x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，则x1-x2＜0，
于是有 f(x1)-f(x2)/（x1-x2）
=f(x1)+f(-x2)/（x1+(-x2)）
＞0，
而x1-x2＜0，故f（x1）＜f（x2），故f（x）在[-1，1]上是增函数；（4分）
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知：
-1≤x+1≤1 -2≤x≤0x≥2
-1≤1x-1≤1 ⇒ x≤0x＜-2
x+1＜1x-1 1＜x＜2⇒-2≤x＜-2
故不等式的解集为 {x|-2≤x＜-2}；（8分）
（3）由（1）知f（x）最大值为f（1）=1，
所以要使f（x）≤m2-2pm+1对所有的x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m2-2pm+1成立，即m（m-2p）≥0．
①当p∈[-1，0）时，m的取值范围为（-∞，2p]∪[0，+∞）；
②当p∈（0，1]时，m的取值范围为（-∞，0]∪[2p，+∞）；
③当p=0时，m的取值范围为R．