Question

高中数学解题公式技巧等

我想找一些普通辅导书里没有提到的公式方法。
比如我在初中奥赛补习学到了数轴标根法，整式除法，杨辉三角，四点共圆以及一系列很有用的公式，在高中我也收益颇多。但这些公式学校课堂不会讲，只有自己去了解。
所以请各位数学高手提供一些这方面的知识，感激不尽。

Answer 1

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Answer 2

数列的特征方程：
等差数列：A(n+1)-An=d,A(n+2)-A(n+1)=d
A(n+2)-2A(n+1)+An=0
x^2-2x+1=0 ,(x-1)^2=0 ,x=1
An=a+bn ,a,b 为常数。
等比数列：A(n+1)=qAn
x=q ,An=a*q^n
一般数列：A(n+2)-(c1+c2)A(n+1)+c1*c2An=0
特征方程为：x^2-(c1+c2)x+c1c2=0
An=a*c1^n+b*c2^n ,a,b为待定常数。
当c1=c2时，An=(a+bn)c^n

数列不动点理论：
A(n+1)=f(An)/g(An)的不动点为x1,x2
则[A(n+1)-x1]/[A(n+1)-x2]
={[f(An)/g(An)]-c1}/{[f(An)/g(An)]-c2}
=a*[An-x1]/[An-x2]
Bn=[An-x1]/[An-x2]为等比数列。

cosπ/3=1/2
cosπ/5-cos2π/5=1/2
cosπ/7-cos2π/7+cos3π/7=1/2
cosπ/9-cos2π/9+cos3π/9-cos4π/9=1/2

直线方程：Ax+By+c=0
(A,B)为直线的法向量，如果P(x0,y0)在直线上Ax0+By0+C=0,
设(x,y)为直线上任一点，(x-x0,y-y0)
(A,B)*(x-x0,y-y0)=Ax+By-(Ax0+By0)=Ax+By+C=0
(A,B)⊥(x-x0,y-y0)，(A,B)为直线的法向量。

柯西不等式的简介
柯西不等式的一般证法有以下几种：
■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。
■②用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．
【柯西不等式的应用】
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
■巧拆常数：
例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立。

Answer 3

其实你说的大多是一些计算方法(比如说标根和一元多项式的竖式除法)和初中教材没有讲的结论(比如四点共圆的一些充分条件)，也不是什么很怪的东西。把一般的方法掌握才是最重要的，其实高中很少有什么方法是到处都找不到的。很多方法大多数参考书都会写，如果说你想知道一些新的东西，可以读读数学杂志。

Answer 4

我个人认为辅导书里提到的公式就够了。因为高中数学题解法比较多。比如说你公式知识知道的少 但是也可以做出题 确实记忆更多的公式会加快解题的速度 但是对题目的简化上未必有多大作用，而且还需要时间去记忆一下不太常用的公式 和方法。相比之下我认为把已知的的重要公式运用熟练，就可以了。现在高中数学题强调的数学思想 是对题目的解题方法的选择。公式的运用淡化了

Answer 5

太多了啊~~你的提出那一方面的知识。比如说求函数的值域就有1导数法。2单调性法。3换元法。4有界函数法。分离常数法。判别式法。反函数法。每种方法掌握一个例题求值域就基本OK了~~其实高中数学很简单的~~你要是我学生就好了啊~~