Question

如图，在半径为5的圆O中，角AOB等于90度，点C是弧AB上一个动点，AC与OB延长线交于点D，设AC等于x，BD等于y

Answer 1

原题是否是：如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD= 1/3OB时，求⊙O1的半径；
（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．

解：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE= 1/2AC=1/2x，OE=根号下（ AO²-AE²）=根号下（25-1/4x²）．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，∴△ODE∽△AOE．
∴ OD/OE=AO/AE，∵OD=y+5，∴ （y+5）/根号下（25-1/4x²）=5/（x/2）．
∴y关于x的函数解析式为： y=【5根号下（100-x²）-5x】/x．
定义域为： 0＜x＜5根号下2．
（2）当BD= 1/3OB时， y=5/3，【5根号下（100-x²）-5x】/x．
∴x=6．
∴AE= 1/2x=3，OE= 根号下（5²-3²）=4．
当点O1在线段OE上时，O1E=OE-OO1=2， O1A=根号下（O1E²+AE²）=根号下（2²+3²）=根号下13．
当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6， O1A=根号下（O1E²+AE²）=根号下（6²+3²）=3根号5．
⊙O1的半径为 13或 35．

（3）存在，当点C为 AB^的中点时，△DCB∽△DOC．
证明如下：∵当点C为 AB^的中点时，∠BOC=∠AOC= 1/2∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB= （180-45°）/2=67.5°，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．
∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．

希望对你有帮助~