Question

若正实数x,y满足x+2y=5,则x方-3/x+1+2y方-1/y的最大值是（）用导数和凑配两种方法解 谢谢啦

Answer 1

题目是“x、y∈R且x+2y＝5，求(x²-3)/x+(2y²-1)/y的最大值”？

方法一(柯西不等式法):
以条件式代入待求式得
(x²-3)/x+(2y²-1)/y
＝(x+2y)-(3/x+1/y)
＝5 -[(√3)²/x+(√2)²/2y]
≤5-[(√3+√2)²/(x+2y)]
＝5-(5+2√6)/5
＝(20-2√6)/5
故所求最大值为(20-2√6)/5

方法二(均值不等式法)
(x²-3)/x+(2y²-1)/y
＝(x+2y)-(1/5)(x+2y)(3/x+1/y)
＝5-(1/5)(5+x/y+6y/x)
≤4-(2/5)√[(x/y)·(6y/x)]
＝(20-2√6)/5，
故所求最大值为:
(20-2√6)/5。