Question

已知双曲线C的中心是原点,右焦点F(根号3,0),一条渐近线m:x+根号2y=0,设过点A(-3根号2,0)的直线l的方向向量

e=(1,K)若过原点的直线a平行与l,且a与l的距离为根号6,求k
证明当k>根号2/2时,在双曲线C的右支上不存在Q,使之到直线l的距离为根号6

Answer 1

c=√3，其一渐近线y=-√2x/2,b/a=√2/2，b=√2a/2,a^2+a^2/2=c^2=3,
a^2=2,b^2=c^2-a^2=1,
∴双曲丝方程为：x^2/2-y^2=1,
直线方程为：y=k(x+3√2），即kx-y+3√2=0，
a与l的距离为√6，则原点至l的距离就是a和l的距离，
根据点线距离公式，原点至直线l距离d=|0-0+3√2/√（1+k^2)=3√2/√（1+k^2)=√6，
∴k=±√2，
∵直线a//l,
则直线a方程：y=±√2x,（1）
根据至一条定直线距离为定值的点的轨迹是与该直线定距离的平行线，凡是在直线a上的点至直线l的距离均为√6，否则就不是√6，只要能证明a和双曲线相交，即可说明存在这样的Q点，
把方程（1）代入双曲线方程，
x^2/2-2x^2=-3x^2<0≠1，
√2/2≤k，均是小于0，故直线和双曲线右支不相交，也就不存在这样的Q点使之到直线l的距离为√6。