Question

已知函数f(x)=根号2sin(2x-π/4） （1）求f(x)的最小正周期和对称中心；并说明f(x)是由y=cosx经过怎样变换

而得到的 （2）利用“五点法”作出函数f(x)在（0，π）内的简图；（3）求函数f(x)的最大值及相应的x值

Answer 1

解：(1) f(x)的最小正周期T=2π/2=π；
f(x)的对称中心为：2x-π/4=kπ, ---->x=kπ/2+π/8 k∈Z. ----所求对称中心。
y=cosx --->将x向右移π/2 ---->y=cos(x-π/2)=cos[-(π/2-x)]=cos(π/2-x)=sinx---->将函数的横坐标x缩短到原来的1/2倍--->y=sin2x --->再向右移π/4,--->y=sin(2x-π/4).---->横坐标不变，纵坐标伸长为原来的√2倍----->f(x)=√2sin(2x-π/4).

(2) y=√2sin(2x-π/4),将x取五个特殊值，求出相应的五个y值，再在直角坐标系中描点，最后将点连成光滑曲线。
x 0 π/4 π/2 3π/4 π
2x-π/4 -π/4 π/4 3π/4 5π/4 7π/4π
√2sin(2x-π/4) -1 1 1 -1 -1
∵x∈(0,π), 故描曲线时，“0”、“π" 处，描成“。”即空心点。 请你自己描成图。

(3) ∵|sin(2x-π/4)|≤1,∴(sin(2x-π/4)max=1.
∴f(x)max=√2sin(2X-π4)=√2.. 此时,2X-π/4=π/2, x=3π/8.