Question

设函数f(x)=xe的kx次方（k不等于0） 若函数f（x）在区间（-1,1）内单调递增，求k的取值范围

Answer 1

f(x)=xe^(kx)
f'(x)=e^(kx)+kxe^(kx)=e^(kx)(1+kx)=0得 x=-1/k
在区间（-1,1）内单调递增, 即在此区间，f'(x)>=0
即1+kx>=0
即1+k>=0. 且1-k>=0
得：-1=<k<=1

Answer 2

f(x)=xe^(kx)，f'(x)=e^(kx)+kxe^(kx)=(1+kx)e^(kx)。
f'(x)>=0在区间(-1,1)上恒成立，等价于1+k*(-1)>=0且1+k*1>=0，-1<=k<=1且k<>0。
k的取值范围是[-1,0)U(0,1]。

Answer 3

若f(x)=x(e^kx)(k≠0)在(-1,1)上单调
则f'(x)=(kx+1)(e^kx)在(-1,1)上 恒≤0 或 恒≥0
即 kx+1≤0 对 任意x∈(-1,1)恒成立 ----(1)
或 kx+1≥0 对 任意x∈(-1,1)恒成立 ----(2)
由于(1)在x=0是不成立,所以只能(2)成立
i)当x=0时,(2)化为 1≥0 ,恒成立,即k∈R
ii)当0<x<1时,(2)化为 k≥ -1/x 对任意x∈(0,1)恒成立
即 k≥max(-1/x),x∈(0,1), 即 k≥-1
iii)当-1<x<0时,(2)化为 k≤ -1/x 对任意x∈(-1,0)恒成立
即 k≤min(-1/x),x∈(-1,0), 即 k≤1

综合i)ii)iii),再考虑到k≠0, 得 k∈[-1,0)∪(0,1]

Answer 4

f'(x)=(kx+1)e^kx
f(x)=xe^(kx)(k不等于0）在区间（-1，1）内单调递增
在区间(-1,1)上 f'(x)≥0,即kx+1≥0(k ≠0)
k+1≥0,-k+1≥0 ,k≠0
k∈[-1,0)∪(0,1]