Question

已知直线l经过抛物线y^2=(-4/3)x的焦点F,且与抛物线交予A,B两点,证以AB为直径的圆与抛物线的准线 位置关系

过程

Answer 1

焦点F(-1/3,0)，准线x=1/3。
设l的方程为x=ty-1/3代入抛物线方程得：9y^2+12ty-4=0，yA+yB=-4t/3，yAyB=-4/9。
xA+xB=t(yA+yB)-2/3=-4t^2/3-2/3。圆心为(-2t^2/3-1/3,2t/3)
[AB]=√(t^2+1)√[(yA+yB)^2-4yAyB]=√(t^2+1)√(16t^2/9+16/9)=4(t^2+1)/3。
圆的半径为2(t^2+1)/3，圆心到准线的距离为1/3-(-2t^2/3-1/3)=2(t^2+1)/3=半径。
所以，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。