Question

如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2-2ab+b2=0

如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．OA、OB的长度分别为a和b，且满足a2-2ab+b2=0．
（1）判断△AOB的形状．
（2）如图②，正比例函数y=kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=9，BN=4，求MN的长．
（3）如图③，E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角△ADE，P为BE的中点，连接PD、PO，试问：线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系？写出你的结论并证明
主要问题是那个△OAD≌△OBC中，∠CBO和∠OAD怎么相等

Answer 1

⑴∵a2-2ab+b2=0．
∵﹙a-b﹚²=0,∴a=b
∵∠AOB=90
∴△AOB为等腰直角。
⑵∵∠MOA＋∠MAO=90,∠MOA＋∠MOB=90
∴∠MAO=∠MOB
∵AM⊥OQ，BN⊥OQ
∴∠AMO=90=∠BNO
在△MAO和△BON,
∠MAO=∠MOB,
∠AMO=∠BNO,
OA=OB
∴△MAO≌△BON（AAS）
∴OM=BN,AM=ON,OM=BN,
∴MN=ON-OM=AM-BN=5
（3）PO=PD且PO⊥PD，
延长DP到点C，使DP=PC，连接OD、OC、BC，
在△DEP和△CBP， ．
∴△DEP≌△CBP，
∴CB=DE=DA，∠DEP=∠CBP=135°，
在△OAD和△OBC，
∴△OAD≌△OBC，
∴OD=OC，∠AOD=∠COB，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∴PO=PD，且PO⊥PD

祝您愉快

追问

我是问△OAD≌△OBC中那个直角怎么证明？

追答

过B作X轴平行线，直线AB（高过B）的一点位Z
∵△OAD≌△OBC，∠DEP=∠CBP=135°，
∴∠CBP=135°
∵满足a²-2ab+b²=0
a=b
∴AB与X轴的夹角为45°
∴∠CBZ=45°
∵∠CBP=135°，∠OAD=90°
∴∠OBC=90°

祝您愉快

Answer 2

http://www.jyeoo.com/Math/Ques/Detail/d0dfc56e-5044-4b25-bffc-2a195caba094

Answer 3

解：（1）等腰直角三角形．
∵a2-2ab+b2=0，
∴（a-b）2=0，
∴a=b，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB为等腰直角三角形；

（2）∵∠MOA+∠MAO=90°，∠MOA+∠MOB=90°，
∴∠MAO=∠MOB，
∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在△MAO和△BON中，

∠MAO=∠MOB∠AMO=∠BNOOA=OB
，

∴△MAO≌△NOB，
∴OM=BN，AM=ON，OM=BN，
∴MN=ON-OM=AM-BN=5；

（3）PO=PD且PO⊥PD，
如图，延长DP到点C，使DP=PC，连接OP、OD、OC、BC，
在△DEP和△CBP，

DP=PC∠DPE=∠CPBPE=PB
．

∴△DEP≌△CBP，
∴CB=DE=DA，∠DEP=∠CBP=135°，
在△OAD和△OBC，

DA=CB∠DAO=∠CBOOA=OB
，

∴△OAD≌△OBC，
∴OD=OC，∠AOD=∠COB，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∴PO=PD，且PO⊥PD．

Answer 4

等腰直角三角形