Question

线性代数基础题求解

已知矩阵A的伴随矩阵A^*=diag(1,1,1,8),且ABA^-1=ba^-1+3E,求B. 弱弱地问一句：为什么 |A*| = 8 = |A|^3 ？

Answer 1

你好
由于A的伴随矩阵为对角矩阵，所以|A*|为其对角元的乘积，即为8
A一定是对角矩阵，设其为diag{a1,a2,a3,a4}
则由detdiag{a1,a2,a3)=A44得到a1a2a3=8
a1a3a4=1 a1a2a4=1 a2a3a4=1
由此得到a1a2a3a4=detdiag{a1,a2,a3,a4}=|A|=2
即|A|^3=|A*|=8
一下开始求B
由上面可以得到A=diag{2,2,2,1/4}
那么A-E=diag{1,1,1,-3/4}
由ABA^(-1)=BA^(-1)+3E
得到(A-E)BA^(-1)=3E
则B=(A-E)^(-1)3EA
可以求得(A-E)^(-1)=diag{1,1,1,-4/3}
于是得到B=diag{6,6,6,-1}

Answer 2

知识点: |A*| = |A|^(n-1)
由 A* = diag(1,1,1,8) 知 A是4阶方阵
所以 |A*| = |A|^(4-1) = |A|^3 = 8
所以 |A| = 2.

等式 ABA^-1=BA^-1+3E 两边左乘A*, 右乘A 得
A*ABA^-1A=A*BA^-1A+3A*A
由 A*A=|A|E=2E 得
2B = A*B + 6E
所以 (2E-A*)B = 6E
B = 6(2E-A*)^-1
= 6 diag(1,1,1,-6)^-1
= 6 diag(1,1,1,-1/6)
= diag(1,1,1,-1).