Question

求线性代数行列式

Answer 1

先写几项试试

n=0,

a0

n=1,

a0a1-b1c1

n=2,

a0a1a2-b1c1a2-b2c2a1

n=3,

(a0a1a2-b1c1a2-b2c2a1)a3-b3c3a1a2=a0a1a2a3-b1c1a2a3-b2c2a1a3-b3c3a1a3

故猜想：

det(D[n])=∏{i=0...n}ai-∑{i=1...n}(bici(∏{j=1...n且j!=i}aj))

符号说明：

∏{条件}子项     表示满足条件的子项之积

∑{条件}子项     表示满足条件的子项之和

证明：

1. n=0，n=1时，枚举出的结果满足猜想，成立

2. n>=1时，由代数余子式与行列式的关系，按最后一行展开，真正有效的项只有两项

   det(D[n+1])=c[n+1]*(-1)^(1+n+2)*det(Y[n])+a[n+1]*(-1)^(n+2+n+2)*det(D[n])

   其中Y[n]为下图红线以外部分构成的n阶矩阵

   

   对于Y[n]，按最后一列展开得，真正有效的项只有一项

   det(Y[n])=b[n+1]*(-1)^(1+n+1)*∏{i=1...n}ai

   故

   det(D[n+1])

   =c[n+1]*(-1)^(1+n+2)*b[n+1]*(-1)^(1+n+1)*∏{i=1...n}ai +

   a[n+1]*(-1)^(n+2+n+2)*(∏{i=0...n}ai-∑{i=1...n}(bici(∏{j=1...n且j!=i}aj)))

   =-b[n+1]c[n+1](∏{i=1...n}ai)+ a[n+1]*(∏{i=0...n}ai-∑{i=1...n}(bici(∏{j=1...n且j!=i}ai)))

   =-b[n+1]c[n+1](∏{j=1...n+1且j!=n+1}aj)+ (∏{i=0...n+1}ai-∑{i=1...n}(bici(∏{j=1...n+1且j!=i}aj)))

   = ∏{i=0...n+1}ai-∑{i=1...n+1}(bici(∏{j=1...n+1且j!=i}aj))

   即当n的情况成立时，n+1的情况亦成立

3. 故当n>=0时，猜想是对的

PS:

代数余子式与行列式的关系：

n阶行列式

 

等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和：

Answer 2

为爪形行列式。
将第 i +1 列 -ci/ai 倍（i = 1，2，..., n-1）加到第 1 列 ,
记 d11 = a0-b1c1/a1-b2c2/a2-...-bncn/an，得
|d11 b1 b2 ... bn |
| 0 a1 0 ... 0|
| 0 0 a2 ... 0|
|.........................|
| 0 0 0 ... an|
= a1a2...and11
= a1a2...an(a0-b1c1/a1-b2c2/a2-...-bncn/an)

Answer 3

这道题就这解，不知道对你有帮助吗。

追答

这道题就这么解

Answer 4

第1行-第2行*b1/a1-第3行*b2/a2-...-第n+1行*bn/an
即得结果：(a0-c1*b1/a1-c2*b2/a2-...-cn*bn/an)a1*a2*...*an