Question

已知sinA + sin 𝛽 = 1 cos 𝛼 + cos 𝛽 = 0 求cos(𝛼 + 𝛽)的值

我需要求解的过程已有答案
ANS： −1

Answer 1

原题是:已知 sin𝛼+sin𝛽=1,cos𝛼+cos𝛽=0. 求 cos(𝛼+𝛽).
cos𝛼+cos𝛽=0,cos(𝛼-π)=cos𝛽
𝛼-π=2kπ±𝛽,k∈Z
𝛼=(2k+1)π±𝛽,k∈Z
若𝛼=(2k+1)π+𝛽,k∈Z
sin((2k+1)π+𝛽)+sin𝛽=1,得-sin𝛽+sin𝛽=1
不符合已知条件
若𝛼=(2k+1)π-𝛽,k∈Z
sin((2k+1)π-𝛽)+sin𝛽=1,sin𝛽+sin𝛽=1
sin𝛽=1/2 即可
此时𝛼+𝛽=(2k+1)π,k∈Z
得 cos(𝛼+𝛽)= cos((2k+1)π)
=-1
所以 cos(𝛼+𝛽)=-1
另解:
设A=(𝛼+𝛽)/2,B=(𝛼-𝛽)/2
则𝛼=A+B,𝛽=A-B
sin(A+B)+sin(A-B)=1
2sinAcosB=1 (1)
cos(A+B)+cos(A-B)=0
2cosAcosB=0 (2)
(2)÷(1): cotA=0
cos(𝛼+𝛽)=cos2A
=(cos²A-sin²A)/(cos²A+sin²A)
=(cot²A-1)/(cot²A+1) (分子、分母同除以sin²A)
=(0²-1)/(0²+1)
=-1