Question

如图，∠AEB，∠AFD的平分线相交于点O，求论：∠EOF=1/2(∠DAB+∠BCD）

Answer 1

证法1:延长FO,交AE于M.
∵ ∠BCD=∠CBF+∠BFC.(三角形外角的性质)
即∠BCD=(∠DAB+∠AEB)+2∠b=∠DAB+2∠a+2∠b;
∴∠DAB+∠BCD=∠DAB+(∠DAB+2∠a+2∠b)=2(∠DAB+∠a+∠b).-------------①
又∵∠EOF=∠OME+∠a=(∠DAB+∠b)+∠a=∠DAB+∠a+∠b.--------------------②
∴∠EOF=(1/2)(∠DAB+∠BCD).

证法2:连接EF.
∵∠BCD=∠ECF=180°-∠CEF-∠CFE;
∠DAB=180°-(∠AEF+∠AFE)=180°-2∠a-2∠b-∠CEF-∠CFE.
∴(1/2)(∠DAB+∠BCD)=180°-(∠a+∠CEF)-(∠b+∠CFE)=180°-∠OEF-∠OFE=∠EOF.
故∠EOF=(1/2)(∠DAB+∠BCD).

Answer 2

设：CD与OE的交点是P，则：
∠BCD=∠a＋∠EPC=∠a＋∠b＋∠EOF
∠DAB=∠EDC－2∠b=(∠EPC－∠a)－2∠b=[(∠EOF＋∠b)－∠a]－2∠b=∠EOF－∠a－∠b
上述两式相加，得：
∠BCD＋∠DAB=2∠EOF，
即：∠EOF=(1/2)(∠DAB＋∠BCD)

主要方法和工具是：三角形外角等于其不相邻的内角的和。

Answer 3

∠DCB=∠ECF=180-(∠1-∠2)
∠EOF=180-(∠1+∠2+∠3+∠4)
∠DAB=360-(360-∠O)-∠3-∠4
=360-(180+∠1+∠2+∠3+∠4)-∠3-∠4
=180-(∠1+∠2+2∠3+2∠4)

∠DCB+∠DAB=360-(2∠1+2∠2+2∠3+2∠4)
∠EOF=180-（∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4）
∴∠EOF=二分之一（∠DAB+∠DCB）

追问

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