证明行列式
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用增行增列的方法来做，下面给出4阶的情况，题目是3阶，原理类似：
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第一行*(-x1^2)加到第二行上去，则第二行为(0，x2^2-x1^2，x3^2-x1^2)
第一行*(-x1^3)加到第三行上去，则第三行为(0，x2^3-x1^3，x3^3-x1^3)
原行列式=|x2^2-x1^2，x3^2-x1^2；x2^3-x1^3，x3^3-x1^3|
=(x2^2-x1^2)(x3^3-x1^3)-(x2^3-x1^3)(x3^2-x1^2)
=(x2-x1)(x2+x1)(x3-x1)(x3^2+x1x3+x1^2)-(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)(x3-x1)(x3+x1)
=(x2-x1)(x3-x1)[(x2+x1)(x3^2+x1x3+x1^2)-(x3+x1)(x2^2+x1x2+x1^2)]
=(x2-x1)(x3-x1){(x2+x1)[x3(x3+x1)+x1^2]-(x3+x1)[x2(x2+x1)+x1^2]}
=(x2-x1)(x3-x1)[(x2+x1)(x3+x1)(x3-x2)+x1^2*(x2+x1-x3-x1)]
=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)[(x2+x1)(x3+x1)-x1^2]
=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)(x2x3+x1x2+x1x3)
证毕
第一行*(-x1^3)加到第三行上去，则第三行为(0，x2^3-x1^3，x3^3-x1^3)
原行列式=|x2^2-x1^2，x3^2-x1^2；x2^3-x1^3，x3^3-x1^3|
=(x2^2-x1^2)(x3^3-x1^3)-(x2^3-x1^3)(x3^2-x1^2)
=(x2-x1)(x2+x1)(x3-x1)(x3^2+x1x3+x1^2)-(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)(x3-x1)(x3+x1)
=(x2-x1)(x3-x1)[(x2+x1)(x3^2+x1x3+x1^2)-(x3+x1)(x2^2+x1x2+x1^2)]
=(x2-x1)(x3-x1){(x2+x1)[x3(x3+x1)+x1^2]-(x3+x1)[x2(x2+x1)+x1^2]}
=(x2-x1)(x3-x1)[(x2+x1)(x3+x1)(x3-x2)+x1^2*(x2+x1-x3-x1)]
=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)[(x2+x1)(x3+x1)-x1^2]
=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)(x2x3+x1x2+x1x3)
证毕
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