Question

高三数学问题，要详细解析，好的追加分

一椭圆的四个顶点为A1，A2，B1，B2，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点且与菱形A1B1A2B2相切，则椭圆的椭圆的离心率为？

Answer 1

以焦点在y轴上的为例
圆心为O（0,0），半径为c
设A2（a,0)
B1(0,b)
则直线 A2B1 x/a+y/b=1
即 bx+ay-ab=0
所以 d=|ab|/√(a²+b²)=c (圆心到直线的距离=半径)
ab=√(a²+b²)*c
平方
a²b²=(a²+b²)c²
a²(a²-c²)=(2a²-c²)c²
c^4-3a²c²+a^4=0
同除以 a^4
e^4-3e^2+1=0
e^2<1
所以 e^2=(3-√5)/2=(6-2√5)/4=(5-2√5+1)/4=[(√5-1)/2]²
所以 e=(√5-1)/2

追问

那焦点在X轴上的呢？

Answer 2

设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则：根据椭圆性质有：a^2=b^2+c^2
菱形所形成的三角形内，根据面积公式有：S=1/2*a*b（直角边计算）=1/2*c*√(a^2+b^2)（斜边与高）；
根据这两个式子，可以得出：a^4-3a^2c^2+c^4=0
又椭圆中，a>c>0;故可得：a=(√2/2+1)c，故离心率为：c/a=2-√2