Question

已知三角形ABC的顶点A(3,-1),AB边上的高平行于6x+10y-59=0,∠B的平行线所在直线方程为

已知三角形ABC的顶点A(3,-1),AB边上的高平行于6x+10y-59=0,∠B的平行线所在直线方程为x-4y+10=0，求BC边所在直线方程。
请回复详细解答过程，谢谢

Answer 1

设B坐标是(x,y)
则AB中点(x+3)/2,(y-1)/2在直线6x+10y-59=0上
所以3(x+3)+5(y-1)-59=0
又因为x-4y+10=0
解方程组
得到B的坐标（10,5）
因为AB的斜率是7/6
则AB与角平分线方程x-4y+10=0的夹角正切值是
(7/6-1/4)/(1+7/24)=22/31
设BC的斜率是k
(1/4-k)/(1+k/4)=22/31 ==>k=-2/9
用点斜式可求得BC的方程
y-5=-2/9(x-10)
即2x+9y-65=0

追问

AB的中点为什么会在直线6x+10y-59=0？？

追答

开始看错了，以为我做过的一道老题：
AB边上的高平行于6x+10y-59=0
kAB=5/3
AB:y+1=5/3(x-3)==>y=5/3 x- 6
∠B的平行线所在直线方程为x-4y+10=0
x-4y+10=0与y=5/3 x- 6 ==>B(6,4)
则AB与角平分线方程x-4y+10=0的夹角正切值是
(5/3-1/4)/(1+5/12)=1,夹角=45º
∴BC⊥AB
∴kBC=-3/5
用点斜式可求得BC的方程
y-4=-3/5(x-6)
即5x+3y-42=0

Answer 2

设B(Xb, Yb)
B在BD上
所以 Yb=(Xb+10)/4
所以 B(Xb, (Xb+10)/4)
所以 AB中点((Xb+3)/2, (Xb+6)/8)
AB的中点在中线 6x+10y-59=0 上
所以 3(Xb+3)+5(Xb+6)/4-59=0
解得 Xb=10
所以 B(10, 5)
所以 AB斜率KAB=6/7

(KBD-KBC)/(1+KBD*KBC)=(KAB-KBD)/(1+KAB*KBD)
(1/4-KBC)/(1+KBC/4)=(6/7-1/4)/(1+3/14)
(1-4KBC)/(4+KBC)=(24-7)/(28+6)=1/2
KBC=-2/9
所以 BC方程(点斜式)：y-5=(-2/9)*(x-10)，即 2x+9y-65=0

追问

AB的中点为什么会在直线6x+10y-59=0？？

追答

AB边上的高平行于6x+10y-59=0,
∠B的平行线所在直线方程为x-4y+10=0，