Question

如图所示，从椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线，垂足为焦点F1，若椭圆长轴一个端点为A，

短轴一个端点为B，且OM∥AB。若F2为椭圆的右焦点,直线PQ过F2交椭圆于P、Q两点,且PQ⊥AB,当S△F1PQ=20√3时,求椭圆方程

Answer 1

解答：由MF1⊥x轴知|MF1|＝b^2/a，
又OM∥AB，
∴△ABO∽△OMF1，a∶c＝b∶(b^2/a)，
∴b＝c，a＝√2b，直线AB的斜率为√2/2，那么直线PQ的斜率为－√2，
椭圆方程可设为x^2/2＋y^2＝b^2……①，
直线PQ的方程为x＝(－√2/2)y－b……②，
设点P、Q的纵坐标分别为y1、y2，则S△F1PQ＝|F1F2|*(y1－y2)/2，而|F1F2|＝2b，
∴S△F1PQ＝b*(y1－y2)，∴b*(y1－y2)＝20√3，
∴(y1－y2)^2＝1200/(b^2)，
联解方程①②得：((－√2/2)y－b)^2＋2y^2＝2b^2，
整理得：5y^2＋2√2by－2b^2＝0，
∴y1＋y2＝－(2√2b)/5，y1y2＝－(2b^2)/5，
又(y1－y2)^2＝(y1＋y2)^2－4y1y2，
∴8b^2/25＋8b^2/5＝1200/(b^2)，
解得b^2＝25，
∴所求椭圆方程为：x^2/2＋y^2＝25。