Question

线性方程组的题，要过程，谢谢2008-1题

Answer 1

如果用x、y、z分别替换方程组中的三个未知数x1、x2、x3，则原三个方程分别为xyz空间坐标系中的一个平面。

从方程中很容易可以看出，存在一个零解(0,0,0)，即三个平面均经过坐标原点。

若要方程组存在非零解（a,b,c），则三个平面同时既经过原点(0,0,0)，又经过非零点（a,b,c），即：三个平面共线，由(0,0,0)和（a,b,c）确定的直线。

（因为输入不便，以下解答过程用x、y、z分别替换x1、x2、x3，用a替换λ）

x+y+z=ax……①

2x+3y=ay……②

2x-2y+z=az……③

②+③式，得：

4x+y+z=a(y+z)

4x=(a-1)(y+z)……④

①×(a-1)+④式，得：

(a-1)x+4x=a(a-1)x

a²x-2ax-3x=0

(a-3)(a+1)x=0……⑤

由⑤式可知，若要存在非零解，则a-3=0或a+1=0

所以，当a=3或a=-1时，原方程组存在非零解。

验证：

将a=3代入原方程组，得：

2x-y-z=0

x=0

x-y-z=0

解得：x=0，y=-z，即：yz平面上y=-z的直线。

将a=-1代入原方程组，得：

2x+y+z=0……⑥

x+2y=0……⑦

x-y+z=0……⑧

将⑦+⑧即可得到⑥，因此方程组中的三个方程，实际只有两个方程有效。

两个有效的三元一次方程构成的方程组即可确定一条直线。

补充第二种解答方法，可能更简单一些：

首先我们要明确一个概念：通常情况下，含有三个方程的三元一次方程组都有且只有唯一的一组解。

这里的“通常情况”是指：每个方程都独立且不能被其他方程推导出来。

如果需要方程组存在多组解，那么就必须打破“通常情况”，即：让其中某个方程可以由另两个方程推导出来。

原方程组三个方程均不存在非零常数，因此很容易看出存在零解（0,0,0），如果还要存在非零解，那就必须上述要求：让其中某个方程可以由另两个方程推导出来。

原方程合并系数后可转化为：

(1-a)x+y+z=0……①

2x+(3-a)y=0……②

2x-2y+(1-a)z=0……③

因为②式不存在未知数z，所以我们用①③式来消除z的系数（使其系数为零）。

①式×(1-a)再减去③式，可得：

(1-a)²x+(1-a)y-2x+2y=0

(a²-2a-1)x+(3-a)y=0……④

将④式与②式比较，y的系数已经相同，所以还需要x的系数相同，即：

a²-2a-1=2

a²-2a-3=0

(a-3)(a+1)=0

由此可得与第一种方法一样的答案：

当a=3或a=-1时，原方程组存在非零解。