Question

为什么说原命题和他的逆否命题同真假，如何证明？

为什么说原命题和他的逆否命题同真假，如何证明？

Answer 1

用集合的方法理解“命题”：对于条件p与q，设A={x|p(x)}，B={x|q(x)}“命题：若p则q”与“A是B的子集”等价“A是B的子集”与“B的补集是A的补集的子集”等价“B的补集是A的补集的子集”与“命题：非q则非p”等价所以，“命题：若p则q”与“命题：非q则非p”等价即原命题和他的逆否命题同真假

Answer 2

以下是从网上找到的证明过程，仅供参考。
用反证法
设原命题为“若p则q”，则逆否命题为“若非q则非p”
假设“原命题与其逆否命题具有相同的真假性”错误
则有“若p→q为真，则 非q→非p为假”
或“若p→q为假，则 非q→非p为真”
1，若p→q为真，则 非q→非p为假
因为非q→非p为假，所以非q→p为真 这与 p→q为真 矛盾
2，若p→q为假，则 非q→非p为真
因为p→q为假，所以p→非q为真 这与 非q→非p为真 矛盾
所以假设均不成立，所以原命题与其逆否命题具有相同的真假性，得证。
也可以用真值表也就是用定义穷举A，B的真值。有四种情况：
1）A真，B真。则
A → B为真；┌B → ┌A为真。
2）A真，B假。则
A → B为假；┌B → ┌A为假。
3）A假，B真。则
A → B为真；┌B → ┌A为真。
4）A假，B假。则
A → B为真；┌B → ┌A为真。

所以，在任何情况下，总有P = Q。即一个命题与其逆否命题等价。也记做：
P ←→ Q.