Question

高中函数，要详解，数学高手进

21.
已知函数f(x)的定义域为R，f(x+1)和f(x-1)均为奇函数。
(1)若f(w)=0时，w必为整数且总是有可能会被2整除，求f(x-1+2011^2012)在[-2011,2012]上的零点个数。
(2)若二次函数g(x)的二次项系数v、两个实数根p和q是(1)中的三个零点值，求g(x)的图象与x轴所围面积的最小值及其相应图象的个数。
(3)若整数a使f(x+a)必为奇函数，求a的集合A。设A的子集为B，B中a的个数为2n，所有a的绝对值之和为An，Tn=1/A1 + 1/A2+ 1/A3 +…+ 1/An。求证：有且仅有6个坐标（n，Tn）同时满足7y^2<=3x/[4(n-6)]、[5x/(4n+3)]^2 - y^2 <=1和x^2 /[4(n-5)^2] + 4/3* y^2 >=1。
修改(3)的命题。
求证：至少有t-6个坐标组（n，Tn）分别同时满足4y^2<=3x/(n-6)、[5x/(4n+3)]^2 - y^2 <=1和x^2 /[4(n-5)^2] + 4/3* y^2>=1。（t=7,8,9,…,n）

个人提示：当n=1时 ，（1，T1)为一个坐标组。当n=2时，（2，T2）为另一个坐标组。
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一开始是这个简化版：求证：有且仅有16个坐标组（n，Tn）分别同时满足3600y^2 <= x、x^2 /(2012^2) - y^2 <=1和x^2 /(4024^2) + 4/3* y^2>=1。（想做的尽管做。）

Answer 1

（1）我想一下你就能看出来由f(x+1)和f(x-1)均为奇函数可得f(x)=f(x+4)
1′ T>4 T=4l（l为正整数 )
2′ T<=4 T=4/k (k为正整数)
又∵f(x)的定义域为R，
∴f(1）=f(-1)=0
∵若T=4l 零点xo=2l·N+1 奇数 (舍)
若T=4/k xo=2/k·N+1
k=1 显然不行
k=2 xo为所有整数 可以
k>2 xo将出现分数不行
综上 当且仅当x为整数点时是零点
∵-1+2011^2012是整数
∴不影响零点分布零点个数为2012-（-2011）+1=4024
(2) 定量分析显然很繁 用定性分析
设g(x)=a(x-x1)(x-x2)
=ax^2-a(x1+x2)+ax1x2
(a=v)
Ymax=-[a(x1-x2)^2]/4
两交点x1- x2最小绝对值显然为1
现使Ymax绝对值最小即可
a不等于0
∴a=-1或1
不妨设a=1 x1=0 x2=1
对g(x)在[0,1]积分即可
我就不算了
在（2）中我不知道让求什么的个数
最小值的个数永远只有1个
要是图像的个数就是2*（2*2011+1） （第一个2是因为a取-1 1开口向上向下
后面要是不懂就再追问我把)
(3)第三问题目问得很模糊
所有a的绝对值之和为无穷
A=Z（整数集）

追问

a=0时f(x)一定是奇函数？

追答

我说错了，不好意思，我把它当第一问了，但是，我想说所有a的绝对值之和是什么意思？

追问

假设B中只含有-2011和2011，则A1=2011+2011=4022。
另外，我对每位回答者只能追问3次，没积分了～

追答

我加你好友了，你就不用追问了，我不要你追问分了
（3）计算量实在太大了，但是思路应该是这样，
对于（1）等价于Tn²=(5n/(4n+3))²-1
(3) Tn²>=3/4-3n²/16(n-5)²
对于(2)(3)想让Tn²尽量大就让An尽量小

追问

思路可以。
（1）等价于Tn²<=3n/[4(n-6)]

追答

恩

Answer 2

前两问昨天都解了，为何没有了？
3）f(x+1)和f(x-1)均为奇函数，说明f(x)是以2k为周期的周期函数。若整数a使f(x+a)必为奇函数，则a=1,3,5,7,9...或-1,-3,-5,-7....,再往下考虑吧，提示到此。

追问

答对就给分，没有为什么

追答

前两问都解过了，为何没有了？分并不重要。

Answer 3

1） f(x+1)和f(x-1)均为奇函数，可推出f((x+3)+1)=-f((-x-3)+1)=-f(-(x+1)-1)=f(x)，即周期T=4,则由（1）可知，必存在f(W)=f(w+4k),其中W属于（0，4]，又w被2整除，则W被2整除，则W为2或4，进而f(2n)=0,其中n属于整数。由此，答案易得。
2） g(x)=v(x-p)(x-q)后按题意计算即得。
3） 由T=4可知A={a|a=4k+1或a=4k-1}后对B分类讨论即可。

2）

Answer 4

这个好难呀，问同学看看呀

Answer 5

？？？