已知,y=f(x)是定义在R上的奇函数,且在[0,正无穷)为增函数 5
1证明函数在(负无穷,0】上为增函数2若f(1/2)=1,解不等式-1<f(2x+1)<0...
1 证明 函数在(负无穷,0】上为增函数
2 若 f(1/2)=1,解不等式-1<f(2x+1)<0 展开
2 若 f(1/2)=1,解不等式-1<f(2x+1)<0 展开
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(1)设x1﹤x2≤0 则-x1>x2≥0
又∵y=f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(0)=0
∴f(x)=-f(-x)
∴f(x1)=-f(-x1) ,f(x2)=-f(x2)
∴f(x2)-f(x1)=-f(-x2)+f(-x1)=f(-x1)-f(-x2)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴y=f(x)在(-∞,0]为增函数
(2)f(1/2)=1
∴f(-1/2)=-1
∴-1<f(2x+1)<0
即:f(-1/2)<f(2x+1)<f(0)
∴-1/2<2x+1<0
解得:-3/4<x<-1/2
又∵y=f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(0)=0
∴f(x)=-f(-x)
∴f(x1)=-f(-x1) ,f(x2)=-f(x2)
∴f(x2)-f(x1)=-f(-x2)+f(-x1)=f(-x1)-f(-x2)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴y=f(x)在(-∞,0]为增函数
(2)f(1/2)=1
∴f(-1/2)=-1
∴-1<f(2x+1)<0
即:f(-1/2)<f(2x+1)<f(0)
∴-1/2<2x+1<0
解得:-3/4<x<-1/2
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解析:证明函数的单调性,通常利用单调性的定义进行证明;对抽象不等式,常把常数看成某些变量的函数值,再利用函数的性质去“外层包装”,取出x,化成一元一次或二次不等式求解.
(1)证明:设x1、x2是(-∞,0]上任意两个不相等的实数,且x1<x2,
则-x1,-x2∈[0,+∞),且-x1>-x2,Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1).
∵f(x)是奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,-x1>-x2,
∴f(-x1)>f(-x2).
又∵f(x)为奇函数,∴f(-x1)=-f(x1),
f(-x2)=-f(x2).
∴-f(x1)>-f(x2),即f(x1)<f(x2),
即Δy=f(x2)-f(x1)>0.
∴函数f(x)在(-∞,0]上也是增函数.
(2)解:∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=0,f(-1/2)=-f(1/2)=-1.
由-1<f(2x+1)≤0,得f(-1/2)<f(2x+1)≤f(0).
又∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,∴-1/2<2x+1≤0,
得-3/4<x≤-1/2.
∴不等式的解集为{x|-3/4<x≤-1/2}.
(1)证明:设x1、x2是(-∞,0]上任意两个不相等的实数,且x1<x2,
则-x1,-x2∈[0,+∞),且-x1>-x2,Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1).
∵f(x)是奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,-x1>-x2,
∴f(-x1)>f(-x2).
又∵f(x)为奇函数,∴f(-x1)=-f(x1),
f(-x2)=-f(x2).
∴-f(x1)>-f(x2),即f(x1)<f(x2),
即Δy=f(x2)-f(x1)>0.
∴函数f(x)在(-∞,0]上也是增函数.
(2)解:∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(0)=0,f(-1/2)=-f(1/2)=-1.
由-1<f(2x+1)≤0,得f(-1/2)<f(2x+1)≤f(0).
又∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,∴-1/2<2x+1≤0,
得-3/4<x≤-1/2.
∴不等式的解集为{x|-3/4<x≤-1/2}.
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