Question

已知，y=f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，正无穷）为增函数

1 证明 函数在（负无穷，0】上为增函数
2 若 f(1/2)=1,解不等式-1<f(2x+1)<0

Answer 1

1.设0<=x1<x2;f(x)在[0，正无穷）为增函数，则有f(x1)<f(x2),又f(x)为奇函数
有-f(-x1)<-f(-x2)
即f(-x1)<f(-x2)
因为0<=x1<x2,所以-x2<-x1<=0;
所以f(x)在（负无穷，0]也是增函数
2.f(x)为奇函数，所以f(0)=0,
f(-1/2)=-f(1/2)=-1,且f(x)在（负无穷，0]是增函数，所以-1/2<2x+1<0,解得-3/4<x<-1/2
字打得不容易，给分吧

Answer 2

(1)设x1﹤x2≤0 则-x1>x2≥0
又∵y=f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(0)=0
∴f(x)=-f(-x)
∴f(x1)=-f(-x1) ,f(x2)=-f(x2)
∴f(x2)-f(x1)=-f(-x2)+f(-x1)=f(-x1)-f(-x2)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴y=f(x)在（-∞，0]为增函数
（2）f(1/2)=1
∴f(-1/2)=-1
∴-1<f(2x+1)<0
即：f(-1/2)<f(2x+1)<f(0)
∴-1/2<2x+1<0
解得：-3/4<x<-1/2

Answer 3

解析：证明函数的单调性，通常利用单调性的定义进行证明；对抽象不等式，常把常数看成某些变量的函数值，再利用函数的性质去“外层包装”，取出x，化成一元一次或二次不等式求解.
（1）证明：设x1、x2是（-∞，0］上任意两个不相等的实数，且x1＜x2，
则-x1，-x2∈［0，+∞），且-x1＞-x2，Δx=x2-x1＞0，Δy=f（x2）-f（x1）.
∵f（x）是奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，-x1＞-x2，
∴f（-x1）＞f（-x2）.
又∵f（x）为奇函数，∴f（-x1）=-f（x1），
f（-x2）=-f（x2）.
∴-f（x1）＞-f（x2），即f（x1）＜f（x2），
即Δy=f（x2）-f（x1）＞0.
∴函数f（x）在（-∞，0］上也是增函数.
（2）解：∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，f（-1/2）=-f（1/2）=-1.
由-1＜f（2x+1）≤0，得f（-1/2）＜f（2x+1）≤f（0）.
又∵f（x）在（-∞，0）上是增函数，∴-1/2＜2x+1≤0，
得-3/4＜x≤-1/2.
∴不等式的解集为{x|-3/4＜x≤-1/2}.