Question

请问大佬，这题怎么做？大一微积分的题

Answer 1

令 y=lnx+kx-1， 令y'=1/x+k=0 =>x=-1/k
y(1)=k-1, 当x趋于0，y趋于-∞，
1)若k>0, y'=1/x+k>0，y(x)在x>0上单调递增，因此y(x)与x轴有且仅有一个交点，即原方程有1个实根；
2）若k=0，y=lnx-1，y(x)=0有1个实根x=e；
3）若k<0，x在(0,-1/k)单调增，在（-1/k，∞)单调递减
y(x=-1/k)取极大值，y(x=-1/k)=ln(-1/k)-2=ln(-1/ke^2)
令-1/(ke^2)=1，k=-e^-2，
若-e^-2<k<0, y(x=-1/k)=ln(-1/ke^2)>0，此时y(x)=0与x轴两个交点，原方程两个根；
若k=-e^-2, y(x=-1/k)=ln1>0，此时y(x)=0与x轴1个交点，原方程1个根；
若k<-e^-2,y(x=-1/k)=ln(-1/ke^2)<0,此时y(x)=0与x轴没有交点，原方程没有实根；

总结就是:
1)k>=0或k=-e^-2,原方程一个实根；
2)-e^-2<k<0,原方程两个实根；
3)k<-e^-2，原方程没有实根.

Answer 2

令y=lnx+kx-1，
y'=1/x+k，
k≥0，∵x>0∴y'>0∴y单调递增只有一个实数根
k<0，极大值点x=-1/k，极值y=ln(-1/k)-2，
当y<0也就是-1/k<e²，k<-1/e²时无实数根，
k=-1/e²时唯一实数根x=e²，
-1/e²<k<0时两个实数根。

Answer 3

就是你的方法 换元法求解。
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