Question

初四数学题

在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，把△ABC进行折叠，使点B落在直线AC上距点C为2的B'处，折痕分别交BC,AC,AB于点H,P,Q,则HP/HQ=
双解，要有图有过程
详细的有加分
急急急急急急

Answer 1

方法一：设AC中点为M，BM与HQ交于N，过Q作垂线交BC与K，因为QM=QB，HM=HB，因此HQ是BM中垂线
设HB=x，则在三角形MCH中用勾股定理有4+(4-x)^2=x^2
解得x=5/2
在直角三角形MCB中，BM=根号(4+16)=根号20
BN=BM/2
在直角三角形NHB中，HN=根号(BH^2-BN^2)=根号5/2
易证得三角形QHK与HNB形似，则有
HK/QK=HN/BN==1/2
设HK=y
QK=BK=BH-HK=5/2-y，即y/(5/2-y)=1/2,则y=5/6
易证得三角形CPH与HQK相似，则HP/HQ=CH/HK=3/2/(5/6)=9/5

方法二：解析几何法
以C为原点，AC为Y轴，CB为X轴建立直角坐标系，则直线AB方程y=4-x
BM: y=-0.5x+2
PQ与BM垂直，则二者斜率乘积为-1，PQ斜率为2，又过H(3/2，0)，则PQ：y=2x-3
联立PQ与AB方程得Q点坐标(7/3，5/3)
由PQ方程可得P点坐标(0，-3)
已知HPQ三点坐标，即可求出HP、HQ，并得HP/HQ=9/5