已知函数f(x)=x2+|x-a|+1,(x∈R) 1)画出a=0时函数f(x)的图像 2）求函数f(x)的最小值
(1)如图所示。另：可以google "x^2 + abs(x) + 1" 查看图像。
(2)x ≥ a时，f(x)=x^2+|x-a|+1 = x^2 + x - a + 1 = (x + 1/2)^2 - a + 3/4；
x ≤ a时，f(x)=x^2+|x-a|+1 = x^2 - x + a + 1 = (x - 1/2)^2 + a + 3/4。
下面按照a的取值不同分情况讨论：
a) 当a<-1/2时，有-1/2 ∈[a , +∞)。注意到f(x)在[a , +∞)上的表达式为(x + 1/2)^2 - a + 3/4，因此f(x)在(a , +∞)上的最小值在x = -1/2时取得，最小值为 - a + 3/4。
若x在(-∞ , a]内，有x < a < -1/2 < 1/2。注意到f(x)在(-∞ , a]上的表达式为 (x - 1/2)^2 + a + 3/4，因此f(x)在(-∞ , a]的最小值在 x = a 时取得，最小值为a ^2 +1。
由于a <-1/2，a ^2 +1 + a - 3/4 = (a + 1/2)^2 > 0，故- a + 3/4 < a ^2 +1。从而f(x)在R上的最小值为- a + 3/4，在x = - 1/2时取得。
b) 当-1/2 ≤ a < 1/2时，若x∈[a , +∞)，有x > -1/2。注意到f(x)在[a , +∞)上的表达式为(x + 1/2)^2 - a + 3/4，因此f(x)在[a , +∞)上的最小值在x = a时取得，最小值为a^2+1。
若x在(-∞ , a]内，有x < 1/2。注意到f(x)在(-∞ , a]上的表达式为 (x - 1/2)^2 + a + 3/4，因此f(x)在(-∞ , a]的最小值在 x = a 时取得，最小值为a ^2 +1。
因此当-1/2 ≤ a < 1/2时，f(x)最小值在x = a时取得，最小值为a^2 +1。
c) 当a ≥ 1/2时，若x∈[a , +∞)，有x > -1/2。注意到f(x)在[a , +∞)上的表达式为(x + 1/2)^2 - a + 3/4，因此f(x)在[a , +∞)上的最小值在x = a时取得，最小值为a^2+1。
若x在(-∞ , a]内，有1/2 ∈(-∞ , a]。注意到f(x)在(-∞ , a]上的表达式为 (x - 1/2)^2 + a + 3/4，因此f(x)在(-∞ , a]的最小值在 x = 1/2 时取得，最小值为 a + 3/4。
由于a ≥ 1/2，a ^2 +1 - a - 3/4 = (a - 1/2)^2 > 0，故 a + 3/4 < a ^2 +1。从而f(x)在R上的最小值为 a + 3/4，在x = 1/2时取得。
综上，当a<-1/2时，f(x)在R上的最小值为- a + 3/4，在x = - 1/2时取得；
当-1/2 ≤ a < 1/2时，f(x)在R上的最小值为a^2 +1，在x = a时取得；
当a ≥ 1/2时f(x)在R上的最小值为 a + 3/4，在x = 1/2时取得。
