Question

在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．

在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．如图1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．
（1）点E，F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形？若能，请指出△OEF为等腰三角形时动点E，F的位置．若不能，请说明理由；
（2）当∠EOF=45°时，设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围；
（3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图2），试探究直线EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）点E，F移动的过程中， 能成为 的等腰三角形。
此时点E，F的位置分别是：①E是BA的中点，F与A重合。
② BE=CF=根号2．③E与A重合，F是AC的中点．
（2）在 △OEB和△FOC 中，∠EOB+∠FOC=135°，∠ EOB+∠OEB=135°，
∴∠FOC=∠OEB。 又∵ ∠B=∠C ∴ △OEB∽△FOC 所以BE/CO=BO/CF。
∵BE=x CF=y，OB=OC=根号2 ，所以y=2/x(1≤x≤2 ）．
（3）EF与 相切。 △OEB∽△FOC 所以BE/CO=BO/CF。

Answer 2

http://www.jyeoo.com/Math/Ques/Detail/256c0877-2e22-4316-b90c-cc391cc9ba49

Answer 3

太长拉，能

Answer 4

分析：（1）可分三种情况进行讨论：①当OE=EF时；②当OF=EF时；③当OE=OF时；
（2）本题可通过图中的相似三角形BOE和CFO，可得出关于BO，OC，OE，OF的比例关系式，由于OB=OC=
2，由此可得出关于y，x的函数关系式．解答：解：（1）点E，F移动的过程中，△OEF能成为∠EOF=45°的等腰三角形，
①当OE=EF时，∠OEF是直角，F，A重合，OE是三角形ABC的中位线，E是AB中点，此时BE=1；
②当OF=EF时，∠OFE是直角，与①同理，E，A重合，F是AC中点，此时BE=2；
③当OE=OF时，如果连接OA，那么OA必然平分∠BAC，

∴BO=CO，∠B=∠C=45°，EO=FO，
由∠EOF=45°，由对称性得到∠AOE=∠AOF=22.5°，
∴∠EOB=∠FOC=67.5°，又BO=CO，∠B=∠C=45°，
∴△BEO≌△COF（ASA），又∠BEO=∠BOE=∠COF=∠CFO=67.5°，
∴BE=BO=CO=CF=12BC，
∵AB=AC=2，
∴BC=22，由此可得出BE=CF=2；
（2）在△OEB和△FOC中，
∵∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB=135°，
∴∠FOC=∠OEB，
又∵∠B=∠C，
∴△OEB∽△FOC，
∴BECO=BOCF，
∵BE=x，CF=y，OB=OC=1222+22=2，
∴x2=2y，
则y=2x（1≤x≤2）．点评：本题主要考查了相似三角形的性质和等腰三角形的性质，切线的判定等知识点，通过相似三角形得出角相等或边成比例是解题的关键．