已知函数f(x)=x^2-2lnx+a(a为实常数)。（2）求f(x)在区间[1/2,2]上的最大值和最小值
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f'(x)=2x-2/x=2(x+1)(x-1)/x (x>0)
f'(x)>0==>x>1
f'(x)<0==>0<x<1
f(x)的单调递增区间（1，+∞）
单调递减区间（0,1）
2
由（1）知
x∈ [1/2,1）f(x)递减
x∈(1,2] f(x)递增
f(x)min=f(1)=a+1
又 f(1/2)=a+1/4+2ln2
f(2)=a+4-2ln2
且f(2)-f(1/2)=15/4-4ln2=4(15/16-ln2)>0
f(x)max=f(4)=a+4-2ln2
∴ f(x)min=f(1)=a+1
f(x)max=f(4)=a+4-2ln2
f'(x)=2x-2/x=2(x+1)(x-1)/x (x>0)
f'(x)>0==>x>1
f'(x)<0==>0<x<1
f(x)的单调递增区间（1，+∞）
单调递减区间（0,1）
2
由（1）知
x∈ [1/2,1）f(x)递减
x∈(1,2] f(x)递增
f(x)min=f(1)=a+1
又 f(1/2)=a+1/4+2ln2
f(2)=a+4-2ln2
且f(2)-f(1/2)=15/4-4ln2=4(15/16-ln2)>0
f(x)max=f(4)=a+4-2ln2
∴ f(x)min=f(1)=a+1
f(x)max=f(4)=a+4-2ln2
追问
a不用讨论吗？
追答
a不用讨论
a与单调区间无关，与何时取得最值，极值无关，故不用讨论
a的作用只是将函数图像上下移动
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