Question

在四棱锥p-底ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=DC=2,E是PC的中点，作EF垂直PB交PB于点F

求VB-EFD

Answer 1

连结BD、BE，

∵PD⊥平面ABCD，

AD、CD、BD、BC∈平面ABCD，

∴PD⊥CD，PD⊥AD，PD⊥BD，PD⊥BC，

∵PD=CD=AD=2，

△PDC和△PAD都是等腰RT△，

∴PC=PA=2√2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BD=√2AB=2√2，

△PDB是RT△，

根据勾股定理，

PB=2√3，

∵〈BCD=90°，

CD是PC在平面ABCD的射影，

∴根据三垂线定理，BC⊥PC，

∵〈PFE=90°（已知），

〈EPF=〈BPC，（公用角），

∴RT△PFE∽RT△PCB，

∴EF/BC=PE/PB，

PE=PC/2=√2，

∴EF=√6/3，

∵DE是等腰RT△斜边的中线，

∴DE⊥PC，

∵PD⊥BC，

BC⊥CD，

PC∩ CD=C，

∴BC⊥平面OPDC，

∵DE∈平面PDC，

∴BC⊥DE，

∴DE⊥平面PBC，

∴BE是三棱锥D-BEF的高，

PF^2=PE^2-EF^2,

PF=2√3/3，

BF=PB-PF=2√3-2√3/3=4√3/3，

S△BEF=EF*BF/2=√6/3*（4√3/3）/2=2√2/3，

∴VB-EFD=VD-BEF=DE*S△BEF/3=√2*（2√2/3）/3=4/9。