Question

极限计算等价无穷小替换

请问试1的等价代换是不是对的 试2等价是错误的 乘除法就能用等价代换为什么试一是对的 试子二是错误的

Answer 1

第二式不能这样写。
x与sinx在x趋于零时，在一阶无穷小量是等价的，但三阶无穷小量是不等价的，计算一下（x-sinx）/x³=1/6就说明这一点。
第一式这样替换是否正确，也需要经过计算才可以。

Answer 2

式一是对的啊，不过应该是麦克劳林把，式二你把sinx麦克劳林展开式代入就能算出来

追问

关于展开 应该展开到第几项呢 这个我一直不太明白

追答

具体而言，需要根据交叉项的次数来定，

Answer 3

(1)
x->0
分子
e^(x^2)= 1+x^2+(1/2)x^4 +o(x^4)
xln(1+x) = x^2 -(1/2)x^3 +o(x^3)
e^(x^2)-xln(1+x) -1 = (1/2)x^3 +o(x^3)
分母
sinx = x-(1/6)x^3 +o(x^3)
x-sinx =(1/6)x^3 +o(x^3)
lim(x->0) [e^(x^2)-xln(1+x) -1]/(x-sinx)
=lim(x->0) (1/2)x^3/(1/6)x^3
=3
(2)
x->0
sinx.cosx
=(1/2)(sin2x)
=(1/2) [ 2x -(1/6)(2x)^3 +o(x^3) ]
= x - (2/3)x^3 +o(x^3)
x- sinx.cosx =(2/3)x^3 +o(x^3)
lim(x->0) (x-sinx.cosx)/x^3
=lim(x->0) (2/3)x^3/x^3
=2/3

追问

你好 谢谢你回答我我的问题

请问下第一条紫线部分后面佩亚诺余项 是不是o（x^2x2)只是你写成了o（xΛ4）

第二条紫线为啥我运算不出来啊 同底的幂函数可以想加吗？

追答

e^(x) = 1+ x +(1/2)x^2 +o(x^2)
=> e^(x^2)= 1+x^2+(1/2)x^4 +o(x^4)
=> e^(x^2)= 1+x^2+o(x^3)

追问

还有关于展开 应该展开到哪项才合适 我看教辅书都是同阶 可是这个存在那个e^x^2就不可能同阶 你是如何想到展开到2次就行了

追答

要比较分子，分母，以这个例子
lim(x->0) [e^(x^2)-xln(1+x) -1]/(x-sinx)
分母 是 o(x^3)
分子一定要展开x^3 才能比较！

追问

可是e^x^2你展开到的是 x^2 还有分子是怎么运算得到呀 我算不出来你看看我上面这题用洛必达算出答案为什么和你的不一样

追答

e^(x^2)= 1+x^2+(1/2)x^4 +o(x^4)
因为比较 到 x^3, 所以x^4 不作考虑
e^(x^2)= 1+x^2+(1/2)x^4 +o(x^4) = 1+x^2 +o(x^3)

追问

这样算出来对不对呢

追答

o(x^3):  的意思是 记录 所有 的 x^n 项 ( n>3)

-o(x^3) +o(x^4)=o(x^3)

追问

哦原来是这个意思啊 我还以为和分母比是高阶无穷小然后直接为零呢 那 小o前面的正负号不影响吗？

追答

不影响

追问

谢谢(*°∀°)=3