Question

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画圆，P是⊙O上一动点

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画圆，P是⊙O上一动点且在第一象限内，过点P作⊙O的切线，与x、y轴分别交于点A、B．
（1）求证：△OBP与△OPA相似；
（2）当点P为AB中点时，求出P点坐标；
（3）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，试求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
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Answer 1

(1)证：
∵AB是⊙O的切线，且切点为P
∴∠OPA=∠OPB=90度
∴∠AOP+∠OAP=90度
∵∠AOP+∠BOP=90度
∴∠OAP=∠BOP
∴△OBP与△OPA相似
(2)当点P为AB中点时，△OBP与△OPA全等
∴∠OAP=∠BOP=∠AOP=∠OBP=45度
∴P点坐标可设为（a,a），则有2a的平方=2的平方，a=根号2
∴P点坐标为（根号2,根号2）
（3）存在，Q点有两个：Q1（-根号2，根号2）、Q2（根号2，-根号2）