Question

设函数f(z)在点z0处连续，且f(z0)≠0，证明存在z0的邻域使f(z)≠0

Answer 1

不妨假设 f(z_0)=a>0，根据 f 在 z_0 的连续性，存在 b>0, 使得 任意 z 属于 (z_0-b,z_0+b), 有 |f(z)-f(z_0)|<a/2, 即有 0<a/2<f(z)<3a/2 在z_0 的邻域 (z_0-b,z_0+b)都成立。得证。

在集合论中，邻域指以点a 为中心的任何开区间，记作：U(a)。 在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。 

邻域注意：

在离散空间中，单点集是邻域，非离散空间中往往不如此。一个点的若干邻域之并也是邻域。一个点的两个邻域不一定有包含关系，但它们的交集往往是一个更小的邻域。

注意某些书要求邻域必须是开集，某些书只要有开邻域作为子集就可以。初等的微积分课程中，往往把欧式空间的小球形才算作邻域。

Answer 2

这个是连续函数的保号性质，保持某一点附近的函数符号。证明也很简单，不妨假设 f(z_0)=a>0，根据 f 在 z_0 的连续性，
存在 b>0, 使得 任意 z 属于 (z_0-b,z_0+b), 有 |f(z)-f(z_0)|<a/2, 即有 0<a/2<f(z)<3a/2 在z_0 的邻域 (z_0-b,z_0+b)都成立。得证。

Answer 3

连续就代表在此点的极限存在且等于它的函数值。
然后再z0的函数值不为零。说明存在邻域......
不晓得你这个是不是复变函数题目，z一般代表复数的。不过，复变函数跟二元函数，其实在这类题目是相同的。毕竟有复平面嘛。