求y=2^x/2^x+1的反函数
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求y=2^x/(2^x+1) 的反函数过程如下:
y=(2^x)/(1+2^x);
y(1+2^x)=2^x;
y+(y)(2^x)=2^x;
(1-y)2^x=y;
2^x=y/(1-y);
可以算出:x=log(2)[y/(1-y)]
即反函数是:y=log(2)[x/(1-x)]
扩展资料:
求反函数的要点及反函数的性质:
一、求反函数的要点:
3、将自变量x与因变量y互换,得出反函数的解析式并补充定义域。
二、反函数的性质:
1、函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;
2、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
3、一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;
4、严增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数;
5、定义域、值域相反对应法则互逆(三反)。
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反函数的定义是把原函数的x当做反函数的y,把原函数的y当作反函数的x 所以根据这个就很容易求出该函数的反函数
即x=2^y/(2^y+1),由于这个可能比较难算,可把2^y当作一个整体再经过计算得2^y=x/(x-1),可把这个化为对数函数就是y=log2[x/(x-1)]就是以2为底x/(x-1)的对数
所以该函数的反函数就是y=log2[x/(x-1)]
即x=2^y/(2^y+1),由于这个可能比较难算,可把2^y当作一个整体再经过计算得2^y=x/(x-1),可把这个化为对数函数就是y=log2[x/(x-1)]就是以2为底x/(x-1)的对数
所以该函数的反函数就是y=log2[x/(x-1)]
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解由y=(2^x-1)/(2^x+1)
=(2^x+1-2)/(2^x+1)
=1-2/(2^x+1)
由2^x>0
知2^x+1>1
知0<1/(2^x+1)<1
则-1<-1/(2^x+1)<0
则-2<-2/(2^x+1)<0
则-1<1-2/(2^x+1)<1
即1<y<1
由y=(2^x-1)/(2^x+1)
得2^xy+y=2^x-1
即(y-1)2^x=-1-y
则2^x=(y+1)/(1-y)
即x=log2[(y+1)/(1-y)]
故原函数的反函数为
y=log2[(x+1)/(1-x)],x属于(-1,1).
=(2^x+1-2)/(2^x+1)
=1-2/(2^x+1)
由2^x>0
知2^x+1>1
知0<1/(2^x+1)<1
则-1<-1/(2^x+1)<0
则-2<-2/(2^x+1)<0
则-1<1-2/(2^x+1)<1
即1<y<1
由y=(2^x-1)/(2^x+1)
得2^xy+y=2^x-1
即(y-1)2^x=-1-y
则2^x=(y+1)/(1-y)
即x=log2[(y+1)/(1-y)]
故原函数的反函数为
y=log2[(x+1)/(1-x)],x属于(-1,1).
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y=(2^x)/(1+2^x)
y(1+2^x)=2^x
y+(y)(2^x)=2^x
(1-y)2^x=y
2^x=y/(1-y)
x=log(2)[y/(1-y)]
得反函数是:
y=log(2)[x/(1-x)] (0<x<1)
y(1+2^x)=2^x
y+(y)(2^x)=2^x
(1-y)2^x=y
2^x=y/(1-y)
x=log(2)[y/(1-y)]
得反函数是:
y=log(2)[x/(1-x)] (0<x<1)
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