Question

直线对称式方程

Answer 1

举一个实例。把｛2x+3y-4z+2=0
；x+2y+3z-1=0
化为对称式
。
方法一：平面
2x+3y-4z+2=0
的法向量为
n1
=（2，3，-4），
平面
x+2y+3z-1=0
的法向量为
n2
=（1，2，3），
因此直线的方向向量为
v
=
n1×n2
=（17，-10，1）（向量叉乘会吧？）
取
x
=
10，y
=
-6，z
=
1
，知直线过点
p（10，-6，1），
所以直线的对称式方程为
(x-10)/17
=
(y+6)/(-10)
=
(z-1)/1
。
方法二：把
z
当已知数，可解得
x
=
17z-7
，y
=
4-10z
，
由此得
(x+7)/17
=
(y-4)/(-10)
=
z
，把最后的
z
改写成
(z-0)/1
，就得结果。
方法三：取
z
的两个值如
z1
=
1
，z2
=
2，
代入原方程可知直线过
a（10，-6，1），b（27，-16，2），
所以直线的方向向量为
ab
=（27-10，-16+6，2-1）=（17，-10，1），
所以直线的方程为
(x-27)/17
=
(y+16)/(-10)
=
(z-2)/1
。
（三个方法得到的结果不一样是吧？？这只是形式上不同，本质上它们是同一条直线）