Question

已知函数f(x)=√3cos²ωx+sinωxcosωx+a（ω＞0，a∈R）图像的两相邻对称轴间距离为π/2

（1）求ω值
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间
（3）已知f（x）在区间[0，π/2]上的最小值为1，求a的值

Answer 1

f(x)=(√3/2)(1+cos2ωx)+(1/2)sin2ωx+a
=(√3/2)cos2ωx+(1/2)sin2ωx+a+√3/2
=sin(2ωx+π/3)+a+√3/2
(1)因为两相邻对称轴间距离为π/2，即周期的一半T/2=π/2，T=π
所以 2π/2ω=π，ω=1
(2)令 π/2+2kπ≤2x+π/3≤3π/2+2kπ，
得 π/12+kπ≤x≤7π/12+kπ，
即单调递减区间为[π/12+kπ，7π/12+kπ]，k∈Z
(3)易得，f(x)在区间[0，π/12]为增，在区间[π/12，π/2]为减，
最小值为f(π/2)=sin(π+π/3)+a+√3/2=1，
-sinπ/3+a+√3/2=1，得 a=1