Question

初二数学几何证明问题

已知a、b、c是△ABC的三条边的长，求证︰(a²＋b²－c²)²－4a²b²＜0。

此题无图

Answer 1

证明：
(a²+b²-c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²+2ab) (a²+b²-c²-2ab)
=[(a+b) ²-c²][(a-b) ²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
因a、b、c是△ABC的三条边的长
则a+b+c＞0, a+b＞c，a +c＞b， b+c＞a
则a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0
则(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c) ＜0
则(a²＋b²－c²)²－4a²b²＜0

Answer 2

(a²＋b²－c²)²－4a²b²＜0
(a²＋b²－c²)²-(2ab)²<0
(a²＋b²－c²-2ab)(a²＋b²－c²+2ab)<0
((a-b)²-c²)((a+b)²-c²)<0
(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)<0
因为 a-(b+c)<0 (a+c)-b>0 (a+b)-c>0 a+b+c>0 (因为 三角形 任意两边的和大于第3边）
所以 原式<0

Answer 3

证明：原式=（a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)

=[(a+b)²-c²] [(a-b)²-c²]

=(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (a-b-c)﹤0

（上面4个因式，由三角形任意两边之和大于第三边，仅有一个因式（a-b-c)为负值）