Question

已知直线l过抛物线y*2=2px(p〉0)的焦点，并且与抛物线交于A(x1,x2)和B (y1,y2)两点 （1）求证y1y2=-p*2

（2）点C在抛物线的准线上，且AC平行于x轴，求证：B，C和抛物线的顶点共线

Answer 1

解：焦点（p/2,0） 设过焦点的 直线方程为：y/(x-p/2)=1/n x= ny+p/2 代入抛物线方程
y^2=2p(ny+p/2) y^2-2pny-p^2=0 根据伟达定理；y1y2=-p^2 y1+y2=2pn
(2)因为C在准线上且AC平行X轴，所以AC垂直准线且C为垂足，设F为焦点，AC=AF
又设A（x1,y1) B(x2,y2) F(+p/2,0) C(-p/2,y1) 原点O（0,0），只要证明CO的斜率与BO的斜率相等，即证明CO与BO共线 CO的斜率K=(y1)/(-p/2) BO的斜率K°=y2/x2 x2=ny2+p/2
k°-k=y2/(ny2+p/2) +2y1/p=[2py2 +2y1(2ny2+p)]/[(2ny2+p)*p]
=[2p(y1+y2)+4ny1y2]/[(2ny2+p)*p]
=[2p(2pn)+4n(--p^2)]/[(2ny2+p)*p]=[4np^2--4np^2]/[(2ny2+p)*p]=0
即K°=K 所以B，C和抛物线的顶点共线.