Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+8＼5x＋c经过点A（－1,0）和B（5,0），与y轴交于点C

连接AC,BC
　（1）求抛物线的表达式；
　（2）点E在线段AB上，过点E作BC的平行线，交AC于点F，且三角形AEF的面积与四边形BCFE的面积比是25:119，求点E的坐标；
　（3）点P是在第一象限内的抛物线上一个动点，过点P作点P与x轴垂直的直线，交BC于点Q，求线段PQ的最大长度；
　（4）在（2）和（3）的条件下，直线PQ上如果存在点M，使三角形MCE的周长最短，请直接写出点M的坐标；如果不存在，说明理由。

Answer 1

解：
（1）、把点A（－1,0）和B（5,0）代入y=ax^2+8x/5＋c，解得a=-2/5，c=2，抛物线的表达式为y=-2x^2/5+8x/5＋2。
（2）、设三角形AEF的面积为25k，四边形BCFE的面积119k，则三角形ABC的面积-三角形AEF的面积=四边形BCFE的面积，即0.5*6*2-25k＝119k，解得k＝1/24，设E（x，0），AE=x+1，三角形AEF的高h=(x+1)/3，所以0.5*(x+1)^2/3=25/24，解得x=3/2，点E的坐标为（3/2，0）。
（3）、设P（t，-2t^2/5+8t/5＋2），直线BC的解析式求得为y=-2x/5＋2，则Q的坐标为（t，-2t/5＋2），PQ=-2t^2/5+8t/5＋2-(-2t/5＋2)=-2(t-5/2)^2+5/2，当t＝5/2时，PQ最长为5/2。
（4）、点M的坐标为（5/2，2）