Question

求解一道微积分题目

设f(x)为定义区间上严格单调且连续可微函数，f-1(x)为相应的反函数，若f(x)的不定积分等于F(x)+c，求f-1(x)的积分。

Answer 1

要求的是∫f-1(x)dx
做代换t = f-1(x)
则∫f-1(x)dx = ∫tdf(t) = tf(t) - ∫f(t)dt = tf(t) - F(t) + c = xf-1(x) - F(f-1(x)) + c.
第三个等号用到分部积分。