Question

设a是实常数,求函数] y=4^x+4^-x-2a(2^x+2^_x)的最小值

Answer 1

y=4^x+4^(-x)-2a*[2^x+2^(-x)]
设t=2^x+2^(-x)，则t^2=4^x+4^(-x)+2，4^x+4^(-x)=t^2-2。
原式=t^2-2-2at=(t-a)^2-2-a^2。
由平均值不等式 t=2^x+2^(-x)≥2√[2^x*2^(-x)]=2，
等号当且仅当2^x=2^(-x)即x=0时成立。
若a≥2，则当t=a时原式有最小值-2-a^2，
此时2^x+2^(-x)=a，即2^(2x)-a*2^x+1=0，2^x=[a±√(a^2-4)]/2，
x=㏒2 {[a±√(a^2-4)]/2} （以2为底）
若a<2，则当t=2时原式有最小值-4a+2，此时x=0。