Question

求函数f（x）=（2＾x－1）/（2＾x＋1）的值域，单调性并证明。

Answer 1

解：f（x）=（2＾x－1）/（2＾x+1）
=1-2/（2^x+1）
∵2^x+1>1
∴f(x)∈(-∞,-1]
又2^x+1在R上递增
∴2/（2^x+1）在R上递减，-2/（2^x+1）在R上递增
∴f(x)在R上递增

Answer 2

t=2^x>0
f=(t-1)/(t+1)=(t+1-2)/(t+1)=1-2/(t+1)
-2<-2/(t+1)<0, 所以-1<f<1, 值域为(-1,1)
t单调增，-2/(t+1)也单调增，所以f也单调增

Answer 3

f（x）=（2＾x－1）/（2＾x＋1）=（2＾x+1－2)/（2＾x＋1）=1-2/（2＾x＋1）
因为 0<2/（2＾x＋1）<2, 所以f（x）的值域 ﹙-1,1﹚
2/（2＾x＋1）在R是减函数
所以f（x）=（2＾x－1）/（2＾x＋1）在R上是增函数

Answer 4

（1)令2^x=t，易判断函数的值域为R(2）f(t)=t-1/t+1,则求导（如果没学，就用定义判断）得f'(t)=1+1/t^2恒大于零，即函数在整个定义域上单调递增