Question

已知1/3<=a<=1 若函数f（x）=ax^2-2x在【1,3】上的最大值为M（a）最小值为N（a）令g（a)=M(a)-N(a)

(1)求g（a）的表达式；（2）若关于a的方程g（a）-t=0有解，求实数t的取值范围

Answer 1

1/3<=a<=1
1<=1/a<=3
抛物线f（x）=ax^2-2x=a(x-1/a)^2-1/a
开口向上，且对称轴x=1/a在[1,3]内。
区间中点x=2
当1≤1/a≤2，即1/2≤a≤1,
g（a)=M(a)-N(a)=f(3)-f(1/a)=(9a-6)+1/a,
当2≤1/a≤3，即1/3≤a≤1/2,
g（a)=M(a)-N(a)=f(1)-f(1/a)=(a-2)+1/a,
（2）
要使关于a的方程g（a）-t=0有解，
①(9a-6)+1/a=t在[1/2,1]上有解，
即y=1/a与y=-9a+6+t在[1/2,1]上有交点，
把点(1,1),(1/2,2)代入y=-9a+6+t，得
t1=4,t2=1/2.
1/2≤t≤4
②(a-2)+1/a=t在[1/3,1/2]上有解，
即y=1/a与y=-a+2+t在[1/3,1/2]上有交点，
把点(1/2,2),(1/3,3)代入y=-a+2+t，得
t1=1/2,t2=1/3.
1/3≤t≤1/2
所以t的取值范围[1/3,4]