Question

f(x)是在R上不恒为零的函数，对于任意的x,y属于R都有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立

数列an满足an=f(2^n）（n属于正整数）且a1=2.则数列的通项公式为？

Answer 1

取y＝2，f(2x)=xf(2)+2f(x)＝2x+2f(x)，令x＝2^(n-1)，于是an＝f(2*2^(n-1))=2^n+2f(2^(n-1))=2^n+2a(n-1)，n＝2，3，...。递推有an＝2^n+2(2^(n-1)+2a(n-2))=2*2^n+4a(n-2)=2*2^n+4(2^(n-2)+2a(n-3))＝3*2^n+8a(n-3)=4*2^n+16a(n-4)=....=(n-1)*2^n+2^(n-1)a1=n*2^n。当n＝1时a1＝2＝1*2^1，因此an＝n*2^n，n＝1，2，...。

追问

f(2x)=xf(2)+2f(x)＝2x+2f(x)，也就是xf(2)=2x，这是为什么啊？

追答

已知条件啊。a1＝f(2)=2。